Inganni Matematico -Linguistici: Il Caso del Test PCR

Vi presento oggi uno schema di inganno matematico che fa leva sui “corto-circuiti” linguistici e mentali che tendiamo a fare. Faccio riferimento al test RT-PCR (il tampone) perché rilevante e d’attualità ma lo stesso metodo d’inganno può essere utilizzato in diversi contesti. Spero di rendervi un servizio utile.

Immaginate che io vi dica che esiste una “macchina poligrafica in grado di individuare il 99% delle bugie quando sia sottoposto a test un bugiardo“. Direste voi che la macchina è affidabile? Molti istintivamente direbbero di si, in particolare se presi allo sprovvisto. In realtà noi non sappiamo come la macchina si comporta quando sia testata una persona sincera; in sostanza sappiamo come si comporta la macchina nel caso favorevole (il bugiardo) ma non sappiamo nulla sul comportamento nel caso sfavorevole (il sincero). Cosa diremmo se sapessimo che la macchina marchia come bugie il 50% delle verità? Riterremmo la macchina affidabile? Ovviamente no.

Questo è un piccolo giochetto che ogni tanto utilizzavo con i miei studenti di matematica per introdurre il concetto di probabilità condizionata.

Veniamo ora al caso del test RT-PCR. Forse vi sarà capitato di sentire (da qualche servo di regime) che il tampone è affidabile e che il falsi positivi sono una piccola percentuale. Qualche mese fa il ministro della salute britannico in un’intervista radiofonica ebbe il “coraggio” di affermare che la percentuale di falsi positivi era intorno all’1% probabilmente perché qualcuno gli aveva suggerito che il test PCR era accurato al 99%. Fu smentito da Mike Yeadon (ex direttore scientifico di Pfizer) che quantificò il tasso di falso positivo in una forchetta tra l’89% e il 94%. Inutile dire che Yeadon non è mai comparso sugli schermi televisivi ed ovviamente è stato recentemente oscurato dagli “asocial media“.

Vi chiederete come è possibile avere un tasso di falso positivo (dove per falso positivo si intende una persona che risulti positiva sebbene sana e incapace di infettare) così elevato anche con un test “accurato al 99%”? Il motivo è semplice (collegato all’esempio della macchina poligrafica, fatto in premessa); ve lo spiego con la matematica.

Ad esempio, se vi dicono che il test RT-PCR è accurato al 95% vi stanno dicendo che “la probabilità che il test restituisca un risultato positivo su una persona infetta è del 95%“. Ovviamente non vi stanno dicendo quale sia “la probabilità che il test restituisca un risultato positivo su una persona non infetta“. Perché non lo fanno? Per ingannarvi, consci del corto-circuito mentale a cui tutti siamo portati, in particolare sotto stress.

Per fortuna ci viene incontro la matematica, in particolare il teorema di Bayes. Le prossime righe saranno un po’ tecniche ma servono a introdurvi i numeri e le figure che seguiranno. Quindi se siete un po’ a digiuno della teoria della probabilità, leggete le formule e accettatele con atto di fede.


In matematica “la probabilità che il test PCR restituisca un risultato positivo su una persona infetta” è una probabilità condizionata in cui l’evento “TEST POSITIVO” è condizionato al verificarsi dell’evento “PERSONA INFETTA”, e si scrive P(PCR POSITIVO / PERSONA INFETTA) dove la “P” sta per probabilità.

Viceversa, “la probabilità che la persona sia infetta quando il test è positivo” è una probabilità condizionata in cui l’evento “PERSONA INFETTA” è condizionato al verificarsi dell’evento “PCR POSITIVO” , e si scrive P(PERSONA INFETTA / PCR POSITIVO).

E’ importante sottolineare che in generale le due probabilità condizionate, di cui sopra, sono diverse, cioè P(PCR POSITIVO / PERSONA INFETTA) non è uguale a P(PERSONA INFETTA / PCR POSITIVO).

Quanto vale la probabilità di falso positivo? Eccola: P(FALSO POSITIVO) = 100% – P(PERSONA INFETTA / PCR POSITIVO).

In sostanza per calcolare la probabilità di falso positivo dobbiamo valutare P(PERSONA INFETTA / PCR POSITIVO).

Per calcolare tale probabilità, ci viene in soccorso il Teorema di Bayes che asserisce che il valore di P(PERSONA INFETTA / PCR POSITIVO) è pari al valore di P(PCR POSITIVO / PERSONA INFETTA) moltiplicato per P(PERSONA INFETTA) e diviso per P(PCR POSITIVO).

Spero non vi siate persi, ma state tranquilli non serve che vi ricordiate o abbiate compreso le formule. Quanto sopra serve solo a chiarirvi che quanto seguirà non discende dal nulla.

Ora “la probabilità che il test PCR restituisca un risultato positivo su una persona infetta“, cioè P(PCR POSITIVO / PERSONA INFETTA), ce la danno gli “scienziati” e prendiamo per buoni tali valori.

La probabilità che il test PCR restituisca un risultato positivo“, cioè P(PCR POSITIVO), ce la da settimanalmente la Protezione Civile, e negli ultimi mesi si è aggirata attorno al 20% (anche qualche cosa di più).

La probabilità che una persona sia infetta“, cioè P(PERSONA INFETTA), non la sappiamo, ma facciamo qualche ipotesi e vediamo cosa esce fuori in termini di probabilità di falso positivo. Ricordiamo che per infetta si intende una persona portatrice di virus ed in grado di contagiare.

Assumiamo che l’accuratezza “nominale” del test PCR sia elevatissimo, cioè P(PCR POSITIVO / PERSONA INFETTA) = 99%.

Come premesso poco sopra, circa il 20% delle persone testate in Italia risulta positiva quindi, in via approssimativa, P(PCR POSITIVO) = 20%.

La P(PERSONA INFETTA) la possiamo solo stimare per assunzione. Per quanto ci riguarda facciamo un’assunzione per eccesso: assumiamo che il 10% della popolazione sia oggi infetta, cioè P(PERSONA INFETTA) = 10%, (valore elevatissimo, esagerato, perché non significa che il il 10% della popolazione è stata infettata prima o poi, ma che ogni giorno il 10% delle persone è infetta e può contagiare).

Ebbene, in queste circostanze, la probabilità di falso positivo sarebbe = 100% – (99% x 10%) / 20% = 50,5%. Ebbene sì, un test accurato al 99% in Italia produrrebbe circa il 50% di falsi positivi, e questo avendo utilizzato un valore insensatamente elevato di percentuale di persone infette.


Qua sotto una figura che mostra come varia la probabilità di falso positivo al variare dell’accuratezza del test RT-PCR (sempre nell’ipotesi di tasso di infezione pari al 10%,).

Falso Positivo al Variare dell’Accuratezza del Test

Nel caso vi stesse chiedendo poi cosa succede alla percentuale di falsi positivi al variare del tasso d’infezione della popolazione, cioè del valore di P(PERSONA INFETTA), ecco un paio di figure che mostrano tale andamento nel caso di accuratezza del test al 99% e al 95%.

Falso Positivo al Variare della Percentuale della Popolazione Infetta
Falso Positivo al Variare della Percentuale della Popolazione Infetta

Come potete osservare con un valore di percentuale di popolazione infetta pari al 5% (ancora estremamente elevato) un test RT-PCR accurato al 95% o al 99% produrrebbe un tasso di falso positivo superiore al 70%.

In altri termini assumendo un test estremamente accurato ed una popolazione esageratamente infetta (5% ogni giorno) avremmo che 7 casi positivi su 10 sarebbero falsi positivi. Verosimilmente, il tasso di falso positivo in Italia è ben superiore al 90%, come da deduzioni di Yeadon.

Un caro saluto.